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《走进教育数学》丛书总序
看到本丛书，多数人会问这样的问题：
“什么是教育数学？”
“教育数学和数学教育有何不同？”
简单说，改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务.
把学数学比作吃核桃.核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它.有些核桃，外壳与核桃仁紧密相依，成都人形象地叫它们“夹米子核桃”，如若砸不得法，砸开了还很难吃到.数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃.教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净.
“教育数学”的提法，最早出现在笔者1989年所写的《从数学教育到教育数学》中.其实，教育数学的活动早已有之，如欧几里得著《几何原本》，柯西写《分析教程》，都是教育数学的经典之作.
数学教育有很多世界公认的难点，如初等数学里的几何和三角，高等数学里面的微积分，都比较难学.为了对付这些难点，很多数学老师、数学教育专家前赴后继，做了大量的研究，写了很多的著作，进行了广泛的教学实践.多年实践，几番改革，还是觉得太难，不得不“忍痛割爱”，少学或者不学.教育数学则从另一个角度看问题：这些难点的产生，是不是因为前人留下来的知识组织得不够好，不适于数学的教与学？能不能优化数学，改良数学，让数学知识变得更容易学习呢？
知识的组织方式和学习的难易有密切的联系.英语中12个月的名字：January，February，…….背单词要花点工夫吧？如果改良一下：一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo，等等，马上就能理解，就能记住，学起来就容易多了.生活的语言如此，科学的语言——数学——何尝不是这样呢？
很多人认为，现在小学、中学到大学里所学的数学，从算术、几何、代数、三角到微积分，都是几百年前甚至几千年前创造出来的数学.这些数学的最基本的部分，普遍认为是经过千锤百炼，相当成熟了.对于这样的数学内容，除了选择取舍，除了教学法的加工之外，还有优化改革的余地吗？
但事情还可以换个角度看.这些进入了课堂的数学，是在不同的年代，不同的地方，由不同的人，为不同的目的而创造出来的，而且其中很多不是为了教学的目的而创造出来的.难道它们会自然而然地配合默契，适宜于教学和学习吗？
看来，这主要不是一个理论问题，而是一个实践问题.
走进教育数学，看看教育数学在做什么，有助于回答这类问题.
随便翻翻这几本书，就能了解教育数学领域里近20年来做了哪些工作.从已有的结果看到，教育数学有事可做，而且能做更多的事情.
比如微积分教学的改革，这是在世界范围内被广为关注的事.丛书中有两本专讲微积分，主要还不是讲教学方法，而是讲改革微积分本身.
由牛顿和莱布尼茨创建的微积分，是第一代的微积分.这是说不清楚的微积分.创建者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不清楚.原理虽然说不清楚，应用仍然在蓬勃发展.微积分在说不清楚的情形下发展了130多年.
柯西和魏尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，形成了第二代的微积分.数学家把微积分说清楚了.但是由于概念和推理繁琐迂回，对于绝大多数学习高等数学的人来说，是听不明白的微积分.微积分在多数学习者听不明白的情形下，又发展了170多年，直到今天.
第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分.人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简易明快.让学习者用较少的时间和精力就能够明白其原理，不但知其然而且知其所以然.不但数学家说得清楚，而且非数学专业的多数学子也能听得明白.
第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同；不同的是对原理的说明，前者说不清楚，后者说清楚了.
第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同；不同的仍是对原理的说明.
几十年来，国内外都有人从事第三代微积分的研究以至教学实践.这方面的努力，已经有了显著的成效.在我国，林群院士近10年来在此方向做了大量的工作.本丛书中的《微积分快餐》，就是他在此领域的代表作.
古今中外，通俗地介绍微积分的读物极多，但能够兼顾严谨与浅显直观的几乎没有.《微积分快餐》做到了.一张图，一个不等式，几行文字，浓缩了微积分的精华.作者将微积分讲得轻松活泼、简单明了而且严谨自封，让读者在品尝快餐的过程中进入了高等数学的殿堂.
丛书中还有一本《直来直去的微积分》，是笔者学习微积分的心得.书中从“瞬时速度有时比平均速度大，有时比平均速度小”这个平凡的陈述出发，不用极限和实数，“微分不微，积分不积”，直截了当地建立了微积分基础理论.书中概念与《微积分快餐》中的逻辑等价而呈现形式不尽相同，殊途同归，显示出第三代微积分的丰富多彩.
回顾历史，牛顿和拉格朗日都曾撰写著作，致力于建立不用极限也不用无穷小的微积分，或证明微积分的方法，但没有成功.我国数学大师华罗庚所撰写的《高等数学引论》中，也曾刻意求新，不用中值定理或实数理论而寻求直接证明“导数正则函数增”这个具有广泛应用的微积分基本命题，可惜也没有达到目的.
前辈泰斗是我们的先驱.教育数学的进展实现了先驱们简化微积分理论的愿望.
两本关于微积分的书，都专注于基本思想和基本概念的变革.基本思想、基本概念，以及在此基础上建立的基本定理和公式，是这门数学的筋骨.数学不能只有筋骨，还要有血有肉.中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长、全国名师李尚志教授的最新力作《数学的神韵》，是有血有肉、丰满生动的教育数学.书中的大量精彩实例可能是你我熟悉的老故事，而作者却能推陈出新，用新的视角和方法处理老问题，找出事物之间的联系，发现不同中的相同，揭示隐藏的规律.幽默的场景，诙谐的语言，使人在轻松阅读中领略神韵，识破玄机.看看这些标题,“简单见神韵”、“无招胜有招”、“茅台换矿泉”、“凌波微步微积分”，可以想见作者的功力非同一般！特别值得一提的是，书中对微积分的精辟见解，如用代数观点演绎无穷小等，适用于第一代、第二代和第三代微积分的教学与学习，望读者留意体味.
练武功的上乘境界是“无招胜有招”，但武功仍要从一招一式入门.解数学题也是如此.著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生“大巧”，要教学生“运用之妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的“小巧”.我想所谓“无招胜有招”的境界，就是“大巧”吧！但是，小巧固不足取，大巧也确实太难.对于大多数学子，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，小题做大，小中见大.朱华伟教授和钱展望教授的《数学解题策略》，踏踏实实地从一招一式一题一法着手，探秘发微，系统地阐述数学解题法门，是引领读者登堂入室之作.作者是数学奥林匹克领域的专家.数学奥林匹克讲究题目出新，不落老套.我看了这本书里的不少例题，看不出有哪些似曾相识，真不知道他是从哪里搜罗来的！
朱华伟教授还为本丛书写了一本《从数学竞赛到竞赛数学》.竞赛数学当然就是奥林匹克数学.华伟教授认为，竞赛数学是教育数学的一部分.这个看法是言之成理的.数学要解题，要发现问题、创造方法.年复一年进行的数学竞赛活动，不断地为数学问题的宝库注入新鲜血液，常常把学术形态的数学成果转化为可能用于教学的形态.早期的国际数学奥林匹克试题，有不少进入了数学教材，成为例题和习题.竞赛数学与教育数学的关系，于此可见一斑.
写到这里，忍不住要为数学竞赛说几句话.有一阵子，媒体上出现不少讨伐数学竞赛的声音，有的教育专家甚至认为数学竞赛之害甚于黄赌毒.我看了有关报道后第一个想法是，中国现在值得反对的事情不少，论轻重缓急还远远轮不到反对数学竞赛吧.再仔细读这些反对数学竞赛的意见，可以看出来，他们反对的实际上是某些为牟利而又误人子弟的数学竞赛培训.就数学竞赛本身而言，是面向青少年中很小一部分数学爱好者而组织的活动.这些热心参与数学竞赛的数学爱好者（还有不少数学爱好者参与其他活动，例如青少年创新发明活动、数学建模活动、近年来设立的丘成桐中学数学奖），估计不超过约两亿中小学生的百分之五.从一方面讲，数学竞赛培训活动过热产生的消极影响，和升学考试体制以及教育资源分配过分集中等多种因素有关，这笔账不能算在数学竞赛头上；从另一方面看，大学招生和数学竞赛挂钩，也正说明了数学竞赛活动的成功因而得到认可.对于青少年的课外兴趣活动，积极的对策不应当是限制堵塞，而是开源分流.发展多种课外活动，让更多的青少年各得其所，把各种活动都办得像数学竞赛这样成功并且被认可，数学竞赛培训活动过热的问题自然就化解或缓解了.
回到前面的话题.上面说到“大巧”和“小巧”，自然想到还有“中巧”.大巧法无定法，小巧一题一法.中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目.也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法.中国古代的《九章算术》，就贯穿了分类解题寻求算法的思想.中小学里学习四则算术、代数方程，大学里学习求导数，学的多是机械的算法.但是，自古以来几何命题的证明却千变万化，法无定法.为了找寻几何证题的一般规律，从欧几里得、笛卡儿到希尔伯特，前赴后继，孜孜以求.我国最高科技奖获得者、著名数学家吴文俊院士指出，希尔伯特是第一个发现了几何证明机械化算法的人.在《几何基础》这部名著中，希尔伯特对于只涉及关联性质的这类几何命题，给出了机械化的判定算法.由于受时代的局限性，希尔伯特这一学术成果并不为太多人所知.直到1977年，吴文俊先生提出了一个新的方法，可以机械地判定初等几何中等式型命题的真假.这一成果在国际上被称为“吴方法”，它在几何定理机器证明领域中掀起了一个高潮，使这个自动推理中最不成功的部分变成了最成功的部分.
vi吴方法和后来提出的多种几何定理机器证明的算法，都不能给出人们易于检验和理解的证明，即所谓可读证明.国内外的专家一度认为，机器证明的本质在于“用量的复杂克服质的困难”，所以不可能机械地产生可读证明.
笔者基于1974年在新疆教初中时指导学生解决几何问题的心得，总结出用面积关系解题的规律.在这些规律的基础上，1992年提出消点算法，和周咸青、高小山两位教授合作，创建了可构造等式型几何定理可读证明自动生成的理论和方法，并在计算机上实现.最近在网上看到，面积消点法也多次在国外的不同的系统中实现了.本丛书中的《几何新方法和新体系》，包括了面积消点法的通俗阐述，以及笔者提出的一个有关面积方法的公理系统，由冷拓同志协助笔者整理成书.教育数学研究的副产品解决了机器证明领域中的难题，对笔者而言实属侥幸.
基于对数学教育的兴趣，笔者从1974年以来，在30多年间持续地探讨面积解题的规律，想把几何变容易一些.后来发现，国内外的中学数学教材里，已经把几何证明删得差不多了.于是“迷途知返”，把三角作为研究的重点.数学教材无论如何改革，三角总是删不掉的吧.本丛书中的《一线串通的初等数学》，讲的是如何在小学数学知识的基础上建立三角，以三角的发展引出代数工具并探索几何，把三者串在一起的思路.
vii在《一线串通的初等数学》中没有提到向量.其实，向量早已下放到中学，与传统的初等数学为伍了.在上海的数学教材里甚至在初中就开始讲向量.讲了向量，自然想试试用向量解决几何问题，看看向量解题有没有优越性.可惜在教材里和刊物上出现的许多向量例题中，方法略嫌繁琐，反而不如传统的几何方法简捷优美.如何用向量法解几何题？能不能在大量的几何问题的解决过程中体现向量解题的优越性？这自然是教育数学应当关心的一个问题.为此，本丛书推出一本《绕来绕去的向量法》.书中用大量实例说明，如果掌握了向量解题的要领，在许多情形下，向量法比纯几何方法或者坐标法干得更漂亮.这要领，除了向量的基本性质，关键就是“回路法”.绕来绕去，就是回路之意.回路法是笔者的经验谈，没有考证前人是否已有过，更没有上升为算法.书稿主要由彭翕成同志执笔，绝大多数例子，也是他采集加工的.
谈起中国的数学科普，谈祥柏的名字几乎无人不知.老先生年近八旬，从事数学科普创作超过半个世纪，出书50多种，文章逾千篇.对于数学的执著和一生的爱，洋溢于他为本丛书所写的《数学不了情》的字里行间.哪怕仅仅信手翻上几页，哪怕是对数学知之不多的中小学生，也会被一个个精彩算例所显示的数学之美和数学之奇深深吸引.书中涉及的数学知识似乎不多不深，所蕴含的哲理却足以使读者掩卷遐想.例如，书中揭示出高等代数的对称、均衡与和谐，展现了古老学科的青春；书中提到海峡两岸的数学爱好者发现了千百年来从无数学者、名人的眼皮底下滑过去的“自然数高次方的不变特性”，这些生动活泼的素材，兼有冰冷的思考与火热的激情，无论读者偏文偏理，均会有所收益.
沈文选教授长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究和教育数学的研究．他的《走进教育数学》和本丛书同名，是一本从学术理论角度探索教育数学的著作.在书中他试图诠释“教育数学”的概念，探究“教育数学”的思想源头与内涵；提出“整合创新优化”、“返璞归真优化”等优化数学的方法和手段；并提供了丰富的案例.笔者原来杜撰出“教育数学”的概念，虽然有些实例，但却凌乱无序，不成系统.经过文选教授的旁征博引，诠释论证，居然有了粗具规模的体系框架，有点学科模样了.这确是意外的收获.
浏览着这风格不同并且内容迥异的10本书，教育数学领域的现状历历在目.这是一个开放求新的园地，一个蓬勃发展的领域.在这里耕耘劳作的人们，想的是教育，做的是数学，为教育而研究数学，通过丰富发展数学而推进教育.在这里大家都做自己想做的事，提出新定义新概念，建立新方法新体系，发掘新问题新技巧，寻求新思路新趣味，凡此种种，无不是为教育而做数学.
为教育而做数学，做出了些结果，出了这套书，这仅仅是开始.真正重要的是进入教材，进入课堂，产生实效，让千千万万学子受益，进而推动社会发展，造福人类.这才是作者们和出版者的大期望.切望海内外同道者和不同道者指正批评，相与切磋，共求真知，为数学教育的进步贡献力量.
张景中
2009年7月
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